Diketahui vektor \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \) dan \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ p \\ 2 \end{pmatrix} \). Jika proyeksi skalar ortogonal \( \vec{u} \) pada arah vektor \( \vec{v} \) sama dengan setengah panjang vektor \( \vec{v} \) maka nilai \( p = \cdots \) (UN 2004)
- -4 atau -2
- -4 atau 2
- 4 atau -2
- 8 atau -1
- -8 atau 1
Pembahasan:
Karena proyeksi skalar ortogonal \( \vec{u} \) pada arah vektor \( \vec{v} \) sama dengan setengah panjang vektor \( \vec{v} \), maka kita peroleh berikut:
\begin{aligned} \frac{\vec{u} \cdot \vec{v} }{ |\vec{v}| } &= \frac{1}{2} \ |\vec{v}| \\[8pt] \frac{(3,-1,1) \cdot (2,p,2)}{ \sqrt{2^2+p^2+2^2} } &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2^2+p^2+2^2} \\[8pt] \frac{(3)(2)+(-1)(p)+(1)(2)}{\sqrt{p^2+8}} &= \frac{1}{2} \ \sqrt{p^2+8} \\[8pt] \frac{6-p+2}{\sqrt{p^2+8}} &= \frac{1}{2} \sqrt{p^2+8} \\[8pt] 8-p &= \frac{1}{2}\sqrt{p^2+8} \cdot \sqrt{p^2+8} \\[8pt] 16-2p &= p^2+8 \\[8pt] p^2+2p-8 &= 0 \\[8pt] (p+4)(p-2) &= 0 \\[8pt] p = -4 \ \text{atau} \ p &= 2 \end{aligned}
Jawaban B.